8C 2005

(Mag. Simonitsch)

Schriftliche Reifeprüfung im Haupttermin 2005 - Mathematik

1) Eine Blumenfarm aus Ecuador verschickt Rosen nach Europa. Man weiß aus Erfahrung, dass ungefähr 12 % der verschickten Rosen beschädigt werden.

a) (3 Pkte) Eine Blumenhandlung in Graz wählt aus einer Lieferung 30 Rosen beliebig aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass davon i) keine Rose, ii) mindestens 2 Rosen beschädigt sind.

b) (6 Pkte) Diese Blumenhandlung erhält eine Lieferung von 3000 Rosen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass davon

i) 285 bis 310 Rosen beschädigt sind.

ii) höchstens 370 Rosen beschädigt sind.

Gib eine Begründung für den niedrigen Wert bei i) und den Wert über 50 % bei ii).

c) (3 Pkte) Die Blumenhandlung verschenkt Rosen einer Tombola für wohltätige Zwecke, bei der es heißt "Jedes Los gewinnt eine Rose". Aus Erfahrung weiß der Veranstalter, dass 6 % der Loskäufer ihre Blume nicht abholen. Heuer werden 53 Lose verkauft, aber nur 50 Rosen zur Verfügung gestellt. Wie groß ist die WSK, dass trotzdem alle "Abholer" eine Rose bekommen?

2a) (5 Pkte) Eine Ellipse in erster Hauptlage hat die Brennweite 3. und schneidet die Parabel y = 4/9.x² im Punkt P(3/4). Ermittle die Gleichung der Ellipse und berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Kegelschnitten.

b) (4 Pkte) Das von der Parabel, der Parabeltangente in P und der x-Achse begrenzte Flächenstück rotiert um die y-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

3) Die Funktion f(x)=(x+1)².e^(-ax) hat an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

a) (2 Pkte) Bestimme die Funktionsgleichung.

b) (7 Pkte) Bestimme von der Funktion mit a = 2 die Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte und zeichne den Graphen im Intervall [-1,5; 3].

4) Gegeben ist das Dreieck A(-6/-4), B(10/-4), C(8/10).

a) (4 Pkte) Berechne die Koordinaten des Höhenschnittpunktes und des Schwerpunktes und stelle die durch diese beiden Punkte gehende Euler'sche Gerade e auf.

b) (3 Pkte) Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes F des Umkreises des Seitenmittendreiecks (diesen Kreis nennt man den Feuerbach'schen Kreis) und gib die Kreisgleichung dieses Kreises an.

c) (2 Pkte) Zeige, dass F(5/0) auf der Euler'schen Gerade e liegt und dass gilt: HF : FS = 3 : 1.

d) (3 Pkte) Zeige für den Höhenfußpunkt der Seite a, dass dieser auf dem Feuerbach'schen Kreis liegt.

5) Aus einem Computerprospekt (Jänner 2005):

Für einen Computer um 999,-- € wird als Ratengeschäft eine Anzahlung von 199,-- € und 24 Monatsraten am Ende jeden Monats von 40,-- € angeboten.

i) (5 Pkte) Nehmen wir eine Verzinsung von 2 % p.a. an. Bei einem rein rechnerischen Vergleich der Barwerte würdest du dem Käufer wozu raten?

ii) (1 Pkt) Bei 19,75 % Verzinsung entsprechen sich die Barwerte ungefähr. Welche Aussage ist zutreffend. Gib den Buchstaben der richtigen Interpretation an: ______

a) Könnte der Computer-Käufer eine Bank finden, die ihm die 999,-- € um weniger als 19 % veranlagt, sollte er den Ratenkauf vorziehen.

b) Könnte der Computer-Käufer eine Bank finden, die ihm 199,-- € um weniger als 19 % veranlagt, sollte er den Barkauf vorziehen.

c) Könnte der Computer-Käufer eine Bank finden, die ihm die 999,-- € um mehr als 20 % veranlagt, sollte er den Ratenkauf vorziehen.

d) Könnte der Computer-Käufer eine Bank finden, die ihm 199,-- € um mehr als 20 % veranlagt, sollte er den Ratenkauf vorziehen.