8C 2003

(Mag. Simonitsch)

Schriftliche Reifeprüfung im Haupttermin 2003 - Mathematik

1) (9 Pkte) Vom Florida-Lotto siehst du Vorder- und Rückseite eines Tippscheines (verkleinert) abgebildet.

Es sind 6 von 49 Zahlen anzukreuzen. In der Mitte der Rückseite sind die Gewinnchancen angegeben:

Für 6 Richtige 1 zu 13.983.816
für 5 Richtige 1 zu 54.200,84
für 4 Richtige 1 zu 1.032,4
für 3 Richtige 1 zu 56,66
Gesamtchance zu gewinnen ist 1 zu 53,66.

Zeige, dass die angegebenen Zahlen (gerundet) richtig sind.
Vergleiche die 6 Richtigen mit den Gewinnchancen bei den 6 Richtigen aus dem österreichischen Lotto 6 aus 45 und suche nach einer Begründung für den Vergleichswert in einigen Worten.
Berechne für das Florida-Lotto zusätzlich die Wahrscheinlichkeit für einen (im österreichischen Lotto üblichen) Fünfer mit Zusatzzahl.

2) Erfahrungsgemäß sind 6 % aller Benützer öffentlicher Verkehrsmittel Schwarzfahrer.

a) (4 Pkte) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer Straßenbahn mit 50 Fahrgästen

• genau zwei Schwarzfahrer,
• mindestens drei Schwarzfahrer befinden?

b) (2 Pkte) Wie viele Fahrgäste müsste man kontrollieren, damit mit 95-prozentiger Sicherheit mindestens ein Schwarzfahrer darunter ist?

c) (5 Pkte) Ein Kontrollor überprüft täglich etwa 600 Fahrgäste.
Berechne, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass er weniger als 34 Schwarzfahrer antrifft. Rechne einmal mit Stetigkeitskorrektur und einmal ohne, und begründe, warum die Differenz mehr als 3 Prozentpunkte beträgt.

3) (10 Pkte) Eine Glasvase hat außen die Gestalt eines halben einschaligen Hyperboloids, das durch Rotation einer Hyperbel in 1. Hauptlage mit a = 3 cm um die y-Achse entsteht. Am oberen Rand des Bechers beträgt der äußere Durchmesser 10 cm, der innere 9 cm. Die gesamte Höhe misst 10 cm, die Tiefe des Innenraumes beträgt 9 cm. Der Innenraum hat die Gestalt eines Paraboloids.
Bestimme die Gleichungen der Hyperbel und der Parabel, durch deren Rotation die Vase entsteht.
Berechne das Volumen des Innenraumes der Vase und gib an, in welcher Höhe (außen am Glas gemessen) eine Markierung für ein Volumen von 80xpi cm³ angebracht werden müsste.
Welche Masse hat die Vase, wenn die Dichte des Glases 2,6 g/cm³ beträgt?

4) (10 Pkte) Führe für die Funktion f(x) = 1/12x^4 - 1/2 x^2 + 2/3x - 1/4 eine Kurvendiskussion mit Nullstellen (Dreifach-Nullstelle bei x = 1), Extrempunkten und Wendepunkten durch, stelle die Wendetangente auf und zeichne den Graphen im Intervall [-3;3].
Die Wendetangente schneidet die Funktion auch an der Stelle x = 3. Gib den Flächeninhalt an, den die Funktion mit der Wendetangente einschließt.

5) (8 Pkte) Beweise durch Rechnung am Dreieck A(-4/-9), B(5/3) und C(-9/3), dass sich die Streckensymmetrale der Seite AC und die Winkelsymmetrale des Winkels b in einem Punkt des Umkreises schneiden.