8B 2007

(Mag. Kraker)

Schriftliche Reifeprüfung im Haupttermin 2007 - Mathematik

1) Integralrechnung In der Skizze ist eine Vase dargestellt. Die Außenform der Vase ist ein halbes einschaliges Drehhyperboloid, die Innenseite ein Drehparaboloid. Der Vasenboden ist ein 6 mm hoher Drehzylinder. (Maße in der Skizze in cm). a) (2 P) Zeige, dass die Gleichung der Hyperbel in erster Hauptlage, aus der durch Rotation um die y-Achse die Außenform der Vase hervorgeht, mit der Gleichung 25 x² - y² = 100 äquivalent ist. b) (3 P) Wie viel Prozent der Vase sind gefüllt, wenn in die Vase 1/2 Liter Wasser gefüllt wird? c) (3 P) Berechne die Masse der Vase auf Gramm genau, wenn das verwendete Glas eine Dichte von r = 2,5 kg/dm³ hat.

2) Vektorrechnung

Von einem Dreieck ABC kennt man die Eckpunkte B(5|-3), C(-1|5) und den Höhenschnittpunkt H(1/-1).

a) (3 P) Berechne die Koordinaten des Eckpunkts A des Dreiecks.

b) (5 P) Es sei A(-7/-7).
Berechne die Koordinaten des Umkreismittelpunkts U und des Schwerpunkts S des Dreiecks ABC und zeige rechnerisch, dass U, H und S auf einer Geraden liegen. Gib die Gleichung der Geraden (Eulersche Gerade) an.
Berechne das Verhältnis US : SH .

3) Differential- und Integralrechnung Der symmetrische Giebel eines Barockhauses soll rekonstruiert werden. Der Giebel ist in der Abbildung in einem Koordinatensystem dargestellt. Eine Polynomfunktion f beschreibt im entsprechenden Intervall den oberen Giebelrand. Die x-Achse ist Tangente an den Graphen der Funktion f in den Punkten P1(-4/0) und P2(4/0). Die maximale Höhe des Giebels über der Dachkante beträgt 4,0 m (siehe Abbildung, Einheiten in m).

a) (1 P) Begründe, dass die Polynomfunktion f mindestens 4. Grades sein muss.

b) (3 P) Ermittle eine Gleichung der Funktion f.

c) (3 P) Eine Baufirma verlangt für die Sanierung eines solchen Giebels € 240,- (ohne MWSt.) pro m², wobei auf dm² genau abgerechnet werden soll. Wie viel ist voraussichtlich inklusive 20% MWSt. zu bezahlen, wenn ein Architekt den Giebelrand mit g(x)=(1/8x^2 - 2)^2 beschreibt?

4) Trigonometrie

Graz ist eine der letzten europäischen Städte, in denen Gaslaternen auf öffentlichen Wegen, z.B. auf dem Schlossberg, verwendet werden.
Eine solche Straßenlaterne ist in 3,5 m Höhe montiert und beleuchtet einen unter 11° ansteigenden Promenadenweg. Der Lichtkegel ist senkrecht nach unten gerichtet und hat einen Öffnungswinkel von 120°.

a) (4 P) Wie lang ist die beleuchtete Wegstrecke?

b) (4 P) Wie groß müsste der Öffnungswinkel sein, damit bei 3,5 m Laternenhöhe die Länge des beleuchteten Wegstücks, das tiefer als der Fußpunkt der Laterne liegt, um 60% größer ist als beim Öffnungswinkel von 120°?

5) Wahrscheinlichkeitsrechnung Auf einer Hühnerfarm werden Eier produziert, deren Masse um den Mittelwert µ = 60 g und s = 8,5 g annähernd normalverteilt ist. (siehe Grafik)

a) (2 P) Der Flächeninhalt von A1 ist etwa 0,12. Was sagt diese Zahl über die Eier aus? Wie groß ist der gesamte Flächeninhalt unter der Glockenkurve?

b) (4 P) Eier, deren Masse größer als 80 g oder kleiner als 50 g ist, müssen aussortiert werden. Wie viel Prozent der Produktion sind das?

c) (3 P) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei der automatischen Verpackung der Eier ein Ei beschädigt wird, beträgt 3,5 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer Palette mit 300 Eiern höchstens 15 Stück beschädigt sind? (Rechne mit Stetigkeitskorrektur.)

6) (8 P) Wirtschaftsmathematik

Herr Adam will eine Zusatzpension ansparen und legt zu Beginn jedes Jahres 2000 € mit einer Verzinsung von 6 % p.a. ein. (Rechne ohne Berücksichtigung der Kapitalertragssteuer.)

• Über welches Kapital verfügt er am Ende des 30. Jahres?

• Am Ende des wievielten Jahres wird erstmals ein Guthaben von mindestens 100 000 € erreicht?

• Wie groß müsste die jährliche Einzahlung sein, damit das Guthaben am Ende des 30. Jahres 400 000 € beträgt?

• Hätte Herr Adam nicht 2000 € zu Beginn jedes Jahres eingelegt, sondern halbjährlich 1000 €, welche Auswirkung hätte das am Ende des 30. Jahres? Berechne den Unterschied und begründe ihn.

• Seit Juli 1996 müssen 25 % der gutgeschriebenen Zinsen als Kapitalertragssteuer (KEST) abgeführt werden. Berechne den Wert aus Frage 1) unter Berücksichtigung von 25 % KEST.

Viel Erfolg!