8A 2007

(Mag. Höck)

Schriftliche Reifeprüfung im Haupttermin 2007 -  Mathematik

Integralrechnung: (12 P.)

1) Ein 7cm hohes Trinkglas hat außen die Form eines halben einschaligen Drehhyperboloides (hyp: a = 3 cm, b = 7 cm) und innen die eines Drehparaboloides (par: y = 1/3x^2+1; Einheiten in cm). Das Trinkglas wird bis 2 cm unter den Rand mit Fruchtsaft gefüllt.

a) (4 P.) Fertige eine Skizze an! Wie viel Liter Fruchtsaft befinden sich in dem Trinkglas? (Runde auf 3 Dezimalen.)

b) (4 P.) Weil der Fruchtsaft zu warm ist, werden zwei Stück Eiswürfel mit einer Seitenlänge von 2,5 cm in das Getränk
(V =75,398 cm^3) gegeben. Wie hoch (in cm) steht die Flüssigkeit nun im Trinkglas? (Runde auf 1 Dezimale.)

c) (4 P.) Berechne die Masse des leeren 7 cm hohen Trinkglases, wenn die Dichte von Glas 2,5 g / cm^3 beträgt. (Runde auf ganze Gramm.)

Differentialrechnung (8 P.)

2) Führe für die Funktion y = x + x.lnx eine Kurvenuntersuchung (Kurvendiskussion) durch:

*) Berechne dafür den Definitionsbereich, die Nullstellen, ihre Extremwerte!

*) Stelle in der Nullstelle N (1/e / 0) die Gleichung der Tangente auf!

*) Berechne y´´, bestimme damit die Art der Extremstellen und begründe mit y´´, warum diese Funktion keine Wendepunkte hat!

*) Zeige mit y´ bzw. mit y´´: In welchem Bereich ist die Funktion monoton steigend bzw. monoton fallend? In welchem Bereich liegt eine positive bzw. negative Krümmung vor?

*) Ermittle mit dem Taschenrechner Casio fx-991MS die y-Koordinaten der Punkte mit

x = 0,25; x = 0,5; x = 3; x = 4!

*) Zeichne den Graphen der Funktion!

Trigonometrie: (8 P.)

3) Graz ist eine der letzten europäischen Städte, in denen Gaslaternen auf öffentlichen Wegen, z.B. auf dem Schlossberg, verwendet werden. Eine solche Straßenlaterne ist in 3,5 m Höhe montiert und beleuchtet einen unter 11° ansteigenden Promenadenweg. Der Lichtkegel ist senkrecht nach unten gerichtet und hat einen Öffnungswinkel von 120°.

a) (4 P.) Wie lang ist die beleuchtete Wegstrecke?

b) (4 P.) Wie groß müsste der Öffnungswinkel sein, damit bei 3,5 m Laternenhöhe das beleuchtete Wegstück, das tiefer als die Laterne liegt , um 60% größer ist als beim Öffnungswinkel von 120°?

Folgen und Reihen: (8 P.)

4) Anna hat 1095 Bausteine bekommen. Sie baut damit Türme. Für den ersten Turm verwendet sie einen Stein, für jeden folgenden um drei Steine mehr als für den vorangegangenen und so weiter.
Sie benötigt zum Bau des ersten Turmes acht Sekunden, mit jedem weiteren Turm steigt die Bauzeit um 4%.

a) (4 P.) Wie viele Türme kann Anna bauen?
Wie viele Steine bleiben nach dem Bau des letzten Turmes über?

b) (4 P.) Wie lange braucht Anna zum Bauen aller Türme?
Wie viele Türme baut Anna in der Hälfte der gesamten Bauzeit?

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik: (12 P.)

5a) (4 P.) Ein Graphologe hat sich um eine Stelle beworben. Um seine Fähigkeit zu testen, werden ihm zehn Schriftproben vorgelegt, die von Ärzten und Rechtsanwälten stammen. Man will ihn anstellen, wenn er mindestens acht der zehn Proben identifiziert. Seine Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt 75%. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er angestellt wird!

b) (4 P.) Nach zehn Dienstjahren stellt er fest, dass er 6 000 Gutachten angefertigt hat. Berechne mit Stetigkeitskorrektur die Wahrscheinlichkeit, dass er mehr als 4 480 Gutachten richtig erstellt hat.

c) (4 P.)Wie viele Gutachten muss dieser Graphologe, dessen Erfolgswahrscheinlichkeit 75% beträgt, erstellen, dass mit 95% iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der richtig beurteilten Schriftproben um höchstens 10 Stück vom Erwartungswert (Sollwert) abweicht?
Rechne mit Stetigkeitskorrektur und gib das Ergebnis gerundet an!

Zeichne als Hilfe zu den Aufgabenteilen b) und c) eine Glockenkurve und schraffiere die Fläche, die als Maß für die Wahrscheinlichkeit zu berechnen ist.

Zeige bei b) und c) durch Berechnen von σ und Berücksichtigung der „Faustregel", dass die Annäherung der BV durch die NV gerechtfertigt ist!