8A 2006

(Mag. Simonitsch)

Schriftliche Reifeprüfung im Haupttermin 2006 - Mathematik

1) (8 Pkte) Über einer offenen Feuerstelle hängt ein Kessel, in dem Gulasch für ein Fest gekocht wird. Der Kessel hat die Form eines Drehparaboloids mit einer Höhe von 45 cm und einem oberen, inneren Durchmesser von 50 cm. Skizziere oben stehenden Sachverhalt sinnvoll, um zu einem Funktionsmodell zu kommen, damit du Folgendes berechnen kannst:

• Wie viel Liter Gulasch fasst der Kessel, wenn er bis 10 cm unter dem Rand gefüllt ist?
• Pro Person werden ca. ¼ Liter Gulasch gerechnet. Für wie viele Personen reicht das Gulasch?
• 72 Personen haben bereits gegessen. Wie hoch steht das restliche Gulasch im Kessel?

2) (10 Pkte) Von der Hyperbel 4x² - y² = 36 schneidet die Gerade g: x = 7 ein Segment ab, dem das flächengrößte Rechteck so einzuschreiben ist, dass zwei Eckpunkte auf der Geraden g und die beiden anderen auf dem Hyperbelbogen liegen.
Die Tangenten an die Hyperbel in diesen Eckpunkten bilden mit der zu g parallelen Rechteckseite ein Dreieck. Zeige rechnerisch, dass der Flächeninhalt des Dreiecks halb so groß ist wie der des Rechtecks.

3) Ein Ballon X schwebt über waagrechtem Gelände in einer Höhe von h Metern, in dem sich zwei Orte A und B befinden. A und B sollen vermessen werden.

Von X aus sieht man A unter dem Tiefenwinkel α = 35,3° und nach Schwenken des Fernrohres um den Horizontalwinkel γ = 76,4° den Ort B unter dem Tiefenwinkel β = 33,17° in einer Entfernung von XB = 802,4 m.

a) (6 Pkte) Fertige eine Skizze an und berechne die Höhe, in der der Ballon schwebt, und die Entfernung AB der beiden Orte.

b) (3 Pkte) Der Luftdruck p (in Hektopascal hPa) der Erdatmosphäre nimmt mit zunehmender Seehöhe h (in m) exponentiell nach der Formel p(h)=p0.e^(-kh) ab.

• Zeige, dass die Konstante k den Wert k = 0,000126027 annimmt, wenn am Meeresspiegel bei h = 0 unter Normalbedingungen ein Luftdruck von p0 herrscht und in einer Höhe von 5500 m der Luftdruck nur mehr halb so groß ist.
• Der Ballon ist in der Zwischenzeit gestiegen und befindet sich in einer Höhe von 1750 Metern über dem Meeresspiegel. Wie groß ist der Luftdruck unter der Voraussetzung von p0 = 1013 hPa?
• Atemschwierigkeiten treten auf, wenn der Luftdruck nur mehr 40 % vom Normalwert p0 beträgt. In welcher Höhe wäre dies der Fall?

4) Ein Maturant holt sich für eine Fachbereichsarbeit Informationen aus dem Internet. Er verwendet dazu die 3 Suchmaschinen „Alleswisser", „Gugel" und „Juchhu". A liefert 60 %, G liefert 30 % und J die restlichen Hinweise. Im Laufe der Arbeit stellt sich heraus, dass von „Alles­wisser" 70 %, von „Gugel" 20 % und von „Juchhu" 10 % aller Hinweise brauchbar sind.

a) (3 Pkte) Ein Hinweis erweist sich als brauchbar. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt er von der Suchmaschine A?

b) (2 Pkte) Wie oft müsste der Maturant die Suchmaschine J aufrufen, um mit mehr als 99-%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einen brauchbaren Hinweis zu erhalten?

c) (4 Pkte) Beim Surfen im Internet werden Versuche, die länger als 35 Sekunden dauern, bis sich eine Seite aufgebaut hat, abgebrochen. Um die ungefähre Wartezeit im Internet zu bestimmen, werden 20 Versuche beobachtet und gestoppt (Dauer in Sekunden): 11, 17, 31, 48, 45, 40, 47, 57, 12, 9, 33, 42, 18, 9, 68, 73, 60, 61, 23, 16.

Es wird angenommen, dass die Wartezeit annähernd normalverteilt ist, wobei Mittelwert und Standardabweichung mit den Werten der Stichprobe übereinstimmen sollen. Wie viel Prozent der Versuche werden abgebrochen?

5) Auf Rubbelkarten eines Zoos mit 16 Feldern sind Tierbilder folgendermaßen verteilt:

3 Elefanten, 4 Affen, 4 Fische und die restlichen sind Vögel. Es dürfen nur 2 Felder frei gerubbelt werden, ansonsten ist die Karte ungültig.

a) Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten:

i) (2 Pkte) Beide Felder zeigen jeweils dasselbe Tier.

ii) (1 Pkt) Mindestens ein Feld zeigt das Bild eines Affen.

iii) (1 Pkt) Das zweite Feld zeigt einen Elefanten, wenn bereits das erste Bild ein Elefant war.

b) Für einen Hauptpreis muss man zweimal das Bild eines Vogels frei rubbeln.

i) (1 Pkt) Wie viele Hauptpreise sind beim Kauf von 36 Rubbelkarten zu erwarten?

ii) (3 Pkte) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Kauf von 36 Karten mehr als zwei Hauptgewinne zu erhalten?

6) (4 Pkte) Auf der nächsten Seite siehst du die Graphen der 1. und 2. Ableitung einer Polynomfunktion 3. Grades. Skizziere eine mögliche Funktion 3. Grades ins gegebene Koordinatensystem, wenn die y-Koordinate des Hochpunktes mit 0,5 und die y-Koordinate des Tiefpunktes mit -7,5 gegeben ist. Begründe darunter deine Vorgehensweise in einigen Sätzen, du kannst auch Unsicherheiten beim Skizzieren aus dieser Angabe erklären.

Begründung für die Skizze: