8A 2005

(Dr. Stadler)

Schriftliche Reifeprüfung im Haupttermin 2005 - Mathematik

1) (8 Pkt.) Die höchste Brücke der Welt: Le Viaduc de Millau

Der Viaduc de Millau wurde von einem der berühmtesten Architekten der Gegenwart, dem Briten Sir Norman Foster entworfen. Unweit der Stadt Millau, rund 120 km westlich von Avignon, im Süden Frankreichs gelegen, wurde im Dezember 2001 mit den Bauarbeiten zu diesem imposanten Brückenbauprojekt begonnen, und nach nur drei Jahren Bauzeit wurde es im Dezember 2004 fertig gestellt. Über sieben gigantische Pfeiler und zweieinhalb Kilometer weit schwingt sich die Brücke über den Graben der Tarn.

Ingesamt sieben, zwischen 78 und 245 m hohe Stahlbetonpfeiler (unter der Fahrbahn gelegen) tragen den stählernen Überbau (die Fahrbahn) und die zur Aufnahme der Schrägseil-konstruktionen dienenden Stahlpylone.

Eine Beobachterin in der Horizontalebene des Fußpunktes des fünften Pfeilers sieht den Fußpunkt des fünften Stahlpylons unter dem Höhenwinkel 18,83° und seine Spitze unter dem Höhenwinkel 29,39°. Nachdem sie sich dem Fußpunkt des Pfeilers um 100 m genähert hat, sieht die Beobachterin den Fußpunkt des Pylons unter dem Höhenwinkel 24,45°. Berechne die Höhen des fünften Stahlbetonpfeilers und des fünften Pylons?

(Hinweis: Der Fußpunkt des Stahlbetonpfeilers und die Standorte der Beobachterin liegen in derselben Vertikalebene.)

Die Brücke ist exakt 2460 m lang. Der Höhenunterschied zwischen dem Süd- und dem Nordportal beträgt 74 m. Um wie viel Prozent steigt die Fahrbahn an?

2a) (5 Pkt.) Eine Ellipse in erster Hauptlage hat die Brennweite 3 und schneidet die Parabel y = 4/9x^2 im Punkt P(3/4). Ermittle die Gleichung der Ellipse und berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Kegelschnitten.

b) (4 Pkt.) Das von der Parabel, der Parabeltangente in P und der x-Achse begrenzte Flächenstück rotiert um die y-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

c) (5 Pkt.) Schreibe dem Ellipsoid, das durch die Rotation der Ellipse 2x^2 + 9y^2 = 162 um die x-Achse entsteht, den volumsgrößten Drehkegel ein, dessen Spitze im linken Hauptscheitel der Ellipse liegt. Gib die Maße dieses Drehkegels an.

3) Von 145 Grazer Studenten, die sich um ein Erasmus-Stipendium in einer europäischen Universitätsstadt bemühen, bekommen alle 145 das Stipendium gewährt, aber nur 70% der Bewerber können am Ort ihrer Wahl studieren.

a) (5 Pkt.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit können

i) genau 90 Studenten , ii) mindestens 100 in der gewünschten Stadt studieren?

b) (2 Pkt.) Beim Auswahlverfahren werden 60% der Studienplätze nach Noten vergeben, der Rest kommt von der Warteliste. Von den ausgewählten Bewerbern, die das Notenkriterium erfüllen, nehmen 85% die Stipendienmöglichkeit wahr, von den anderen 92%.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt ein ausgewählter Kandidat sein Stipendium an? Veranschauliche das Auswahlverfahren durch ein Baumdiagramm!

c) (3 Pkt.) Wie viele Namen der Liste muss man durchgehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95% mindestens einen Kandidaten zu finden, der nicht am Ort seiner Wahl studieren kann?

4) Die Funktion f(x)=(a-bx).e^(-x/2) besitzt den Hochpunkt .

a) (3 Pkt.) Zeige, dass die Funktionsgleichung f(x)=(1+x).e^(-x/2) lautet!

b) (4 Pkt.) Bestimme die Nullstelle, den Wendepunkt sowie die Wendetangente der Funktion.

c) (3 Pkt.) Zeichne den Graphen und die Wendetangente im Intervall [-2;6]. (Einheit 1cm)

5) Gegeben ist das Dreieck ABC [A( - 2 | - 1), B(5 | 0), C( - 1 | 2)].

a) (2 Pkt.) Zeige rechnerisch, dass das Dreieck im Punkt C rechtwinkelig ist.

Das Dreieck ist zu einem Rechteck zu ergänzen: Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes!

b) (4 Pkt.) Bestimme die Gleichung des Umkreises des Rechtecks und lege im Punkt B die Tangente an den Umkreis!