8A 2003

(Prof. Kortschak)

Schriftliche Reifeprüfung im Haupttermin 2003 - Mathematik

1.a) Kinder einer bestimmten Altersgruppe besitzen zu 74 % ein Handy. Wie viele Kinder muss man befragen, dass man mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% ein Kind ohne Handy trifft?

b) Aus einer Gruppe werden 10 Kinder ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 davon ein Handy besitzen und mit welcher Wahrscheinlichkeit besitzen mindestens 7 Kinder dieser Gruppe ein Handy?
c) Eine Maschine füllt Säcke zu 25 kg ab, dieser Vorgang ist normalverteilt mit einem Erwartungswert µ = 25,2 kg und der Standardabweichung von s=0,2 kg. Wie viele Prozent der Säcke sind dabei untergewichtig und wie müsste µ bei gleichem s gewählt werden, dass nur 10 % untergewichtig sind. Welche Bedeutung hat µ für die Produktion?

2.a) Die beiden Funktionen f: y = e^(x^2-4)und g: y = e^(x-2) schneiden sich. Berechne die beiden Schnittpunkte. Bestimme im rechten Schnittpunkt die Gleichung der Tangenten an die beiden Kurven und den Winkel zwischen diesen Tangenten. Skizziere die Graphen der beiden Kurven und berechne dazu eine Wertetabelle (auf 2 Dez.!) für f im Intervall [ -3;3] und für g im Intervall [ -2;5].
b) Berechne für die Funktion g die Fläche zwischen Kurve und x- Achse im Intervall [-1;2] und in denselben Grenzen das Volumen des Drehkörpers bei Rotation von g um die x-Achse. Wie müsste die rechte Grenze b des Intervalls [2;b] gewählt werden, damit die Fläche zwischen Kurve und x-Achse den Wert 5000 Ae annimmt.

3.a) Herr Huber plant ein Grundstück zu kaufen Es hat die Form eines allgemeinen Vierecks A B C D. Bei der Besichtigung stellt er fest, dass die Länge AB 52m beträgt, der Winkel ABC 106°, der Winkel ABD 36°, der Winkel DAB 103° und der Winkel CAB 31° misst. Umfang und Flächeninhalt des Grundstücks sind zu berechnen.
b) Die Kirche des nahe gelegenen Ortes befindet sich auf gleicher Höhe mit dem Auge des Betrachters. Das Turmkreuz, von dem Herr Huber weiß, dass es 2,5 Meter hoch ist, ist an der Spitze unter einem Höhenwinkel von 0,81° und am Fuß unter einem Winkel von 0,76° zu sehen. Wie hoch ist der Turm mit Kreuz und wie weit ist die Kirche entfernt? Der Verkäufer behauptet, dass die Kirche in 30 Gehminuten zu erreichen sei. Ist das bei einer Geschwindigkeit von 4,5 km/h realistisch? Rechne nach!

4.) Diskutiere die Funktion f: y = (x^4)/4 - x^3, bestimme dazu : Nullstellen, extreme Punkte, Wendepunkte, die Gleichung der nicht waagrechten Wendetangente t. Berechne eine Wertetabelle für das Intervall [-2;5] und zeichne den Graphen. In welchem Punkt und unter welchem Winkel schneidet diese Wendetangente t die x-Achse? Begründe, warum f'(x)=0 eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für eine lokale Extremstelle ist!